Phương trình 4^x + 2^x(x - 7) - 4x + 12 = 0 có số nghiệm là

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Đặt t = 2^x > 0  phương trình đã cho thành : t² + (x - 7) t - 4x + 12 = 0  (1)

Coi (1) là phương trình bậc hai ẩn t, ta có

∆ = (x - 7) ² - 4( -4x + 12) = (x + 1) ²  ≥ 0

Do đó (1) $\iff \left[\begin{array}{c}t=\frac{7-x+\left(x+1\right)}{2}=4\\ t=\frac{7-x-\left(x+1\right)}{2}=3-x\end{array}\right.$

+ TH1. t = 4 thì 2^x = 4 nên x = 2

+ TH2. t = 3 - x  thì 2^x = 3 - x

Vì $t>0\Rightarrow 3-x>0\iff x<3$

Xét hàm số: $f\left(x\right)=2^x+x-3$

$\Rightarrow f\text{'}\left(x\right)=2^x\ln 2+1>0\forall x<3$

Nên hàm số f(x) luôn đồng biến $\forall x<3$

Do đó phương trình $f\left(x\right)=0$ có một nghiệm duy nhất

Lại có f(1) = 0 nên x = 1 là nghiệm của phương trình $f\left(x\right)=0$

Tóm lại, phương trình đã cho có nghiệm là 1 và 2.