Bất phương trình lg^2 – mlgx + m + 3 ≤ 0 có nghiệm x > 1 khi giá trị của m là

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

Xét phương trình: ${\log }^{2}x-m\log x+m+3\le 0$

Điều kiện x>1.

Đặt t = logx

Với x > 0 thì t = logx > 0

Khi đó phương trình đã cho trở thành: $t^2-mt+m+3\le 0$

$$\begin{gathered} \iff t^2+3\le mt-m \\ \iff t^2+3\le m\left(t-1\right)\left(*\right) \end{gathered}$$

TH1: Với t - 1 > 0 hay t > 1

$m\ge \frac{t^2+3}{t-1}=f\left(t\right)$

$\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=\frac{2t\left(t-1\right)-\left(t^2+3\right)}{{\left(t-1\right)}^2}=\frac{t^2-2t-3}{{\left(t-1\right)}^2}$

$f\text{'}\left(t\right)=0\iff t^2-2t-3=0$$\iff \left[\begin{array}{c}t=-1\\ t=3\end{array}\right.$

BBT

TH2: Với t-1 <0 $\iff$ t <1

Khi đó (*) trở thành: $m\le \frac{t^2+3}{t-1}$

Xét hàm số $f\left(t\right)=\frac{t^2+3}{t-1} với 0<t<1$

$\Rightarrow f\text{'}\left(t\right)=\frac{2t\left(t-1\right)-\left(t^2+3\right)}{{\left(t-1\right)}^2}=\frac{t^2-2t-3}{{\left(t-1\right)}^2}<0\forall t\in \left(0;1\right)$

$\Rightarrow minf\left(t\right)=f\left(1\right)=$

: