Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {{x^2} - 2x} \right)\) với mọi \(x \in R\)

* Hướng dẫn giải

Ta có \(g'\left( x \right) = 2\left( {x - 1} \right)f'\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)\)

\(\begin{array}{l}
 = 2\left( {x - 1} \right)\left[ {{{\left( {{x^2} - 2x + 2 - 1} \right)}^2}\left( {{{\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)}^2} - 2\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)} \right)} \right]\\
 = 2{\left( {x - 1} \right)^5}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^4} - 1} \right].
\end{array}\)

Xét \(2{\left( {x - 1} \right)^5}\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^4} - 1} \right] > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0 < x < 1\\
x > 2
\end{array} \right..\)

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( {0;1} \right),\) \(\left( {2; + \infty } \right).\)

Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm số \(g(x)\).