Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \(f\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right)\) với mọi \(x \in R.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1\\
x = 2
\end{array} \right..\)

Xét \(g'\left( x \right) = \frac{{20 - 5{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}f'\left( {\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}}} \right);{\rm{ }}g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
20 - 5{x^2} = 0\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 0\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 1\\
\frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  \pm 2\\
x = 0\\
x = 1{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi chan}}} \right)\\
x = 4{\rm{ }}\left( {{\rm{nghiem boi chan}}} \right)
\end{array} \right..\)

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D

Chú ý: Dấu của \(g'(x)\) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) ta chọn \(x = 5\)

\(x = 5 \to \frac{{20 - 5{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}} < 0.\)     (1)

\(x = 5 \to \frac{{5x}}{{{x^2} + 4}} = \frac{{25}}{{29}} \to f'\left( {\frac{{25}}{{29}}} \right) = \frac{{25}}{{29}}{\left( {\frac{{25}}{{29}} - 1} \right)^2}\left( {\frac{{25}}{{29}} - 2} \right) < 0.\)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(g'\left( x \right) > 0\) trên khoảng \(\left( {4; + \infty } \right).\)