Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \r

* Hướng dẫn giải

Từ \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t}  = x.\sin \left( {\pi x} \right)\), đạo hàm hai vế ta được \(2xf\left( {{x^2}} \right) = \sin \left( {\pi x} \right) + \pi x\cos \left( {\pi x} \right).\)

Cho \(x = \frac{1}{2}\) ta được \(2.\frac{1}{2}.f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \sin \frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2} = 1 \to f\left( {\frac{1}{4}} \right) = 1.\)