40 câu trắc nghiệm Vận dụng cao Tích phân trong đề thi THPTQG
Câu 1 : Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa \(2f\left( x \right) + 3f\left( {1 - x} \right) = \sqrt {1 - {x^2}} .\) Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
A. \(0\)
B. \(\frac{1}{2}.\)
C. \(1\)
D. \(\frac{3}{2}.\)
Câu 2 : Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 1.\) Biết rằng \(\int\limits_0^1 {{e^x}\left[ {f\left( x \right) + f'\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = ae + b.\) Tính \(Q = {a^{2018}} + {b^{2018}}.\)
A. \(Q = {2^{2017}} + 1\)
B. \(Q=2\)
C. \(Q=0\)
D. \(Q = {2^{2017}} - 1\)
Câu 3 : Cho các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^2 {f'\left( x \right)g\left( x \right){\rm{d}}x = 2} ,\) \(\,\int\limits_0^2 {f\left( x \right)g'\left( x \right){\rm{d}}x = 3} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right)g\left( x \right)} \right]}^/}\,} {\rm{d}}x.\)
A. \(I=-1\)
B. \(I=1\)
C. \(I=5\)
D. \(I=6\)
Câu 4 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0; + \infty } \right)\) và thỏa \(\int\limits_0^{{x^2}} {f\left( t \right){\rm{d}}t} = x.\sin \left( {\pi x} \right)\). Tính \(f\left( {\frac{1}{4}} \right)\).
A. \(f\left( {\frac{1}{4}} \right) = - \frac{\pi }{2}.\)
B. \(f\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{1}{2}.\)
C. \(f\left( {\frac{1}{4}} \right) = 1.\)
D. \(f\left( {\frac{1}{4}} \right) = 1 + \frac{\pi }{2}.\)
Câu 5 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {a; + \infty } \right)\) với \(a>0\) và thỏa \(\int\limits_a^x {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2}}}{\rm{d}}t} + 6 = 2\sqrt x \) với mọi \(x>a\) Tính \(f(4)\).
A. \(f\left( 4 \right) = 2.\)
B. \(f\left( 4 \right) = 4.\)
C. \(f\left( 4 \right) = 8.\)
D. \(f\left( 4 \right) = 16.\)
Câu 6 : Cho \(\int\limits_0^{2017} {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2017}} - 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left[ {\ln \left( {{x^2} + 1} \right)} \right]{\rm{d}}x} .\)
A. \(I=1\)
B. \(I=2\)
C. \(I=4\)
D. \(I=5\)
Câu 7 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limits_1^9 {\frac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x = 4} ,{\rm{ }}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos x{\rm{d}}x = 2} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
A. \(I=2\)
B. \(I=6\)
C. \(I=4\)
D. \(I=10\)
Câu 8 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x} = 4,{\rm{ }}\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x = 2} .\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
A. \(I=6\)
B. \(I=2\)
C. \(I=3\)
D. \(I=1\)
Câu 9 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\tan x.f\left( {{{\cos }^2}x} \right){\rm{d}}x} = 1,\) \(\int\limits_e^{{e^2}} {\frac{{f\left( {{{\ln }^2}x} \right)}}{{x\ln x}}{\rm{d}}x} = 1.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{4}}^2 {\frac{{f\left( {2x} \right)}}{x}{\rm{d}}x} .\)
A. \(I=1\)
B. \(I=2\)
C. \(I=3\)
D. \(I=4\)
Câu 10 : Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right],\) thỏa \(f\left( x \right) + f\left( {\frac{1}{x}} \right) = {x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 2.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^2 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .\)
A. \(I = \frac{3}{2}.\)
B. \(I=2\)
C. \(I = \frac{5}{2}.\)
D. \(I=3\)
Câu 11 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \) với mọi \(x \in R\).Tính \(I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( x \right){\mathop{\rm d}\nolimits} x} \).
A. \(I=-6\)
B. \(I=0\)
C. \(I=-2\)
D. \(I=6\)
Câu 12 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên R thỏa \(f\left( {{x^5} + 4x + 3} \right) = 2x + 1\) với mọi \(x \in R.\) Tích phân \(\int\limits_{ - 2}^8 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
A. \(2\)
B. \(10\)
C. \(\frac{{32}}{3}.\)
D. \(72\)
Câu 13 : Cho các hàm số \(f(x), g(x)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa \(m.f\left( x \right) + n.f\left( {1 - x} \right) = g\left( x \right)\) với \(m, n\) là số thực khác 0 và \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 1.\) Tính \(m+n\)
A. \(m + n = 0.\)
B. \(m + n = \frac{1}{2}.\)
C. \(m + n = 1.\)
D. \(m + n = 2.\)
Câu 14 : Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = f'\left( {1 - x} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {0;1} \right].\) Biết rằng \(f\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}f\left( 1 \right) = 41.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
A. \(I = \sqrt {41} .\)
B. \(I = 21.\)
C. \(I = 41.\)
D. \(I = 42.\)
Câu 15 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên R và thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\) với mọi \(x \in R.\) Tính \(I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
A. \(I = - \frac{4}{5}.\)
B. \(I = \frac{4}{5}.\)
C. \(I = - \frac{5}{4}.\)
D. \(I = \frac{5}{4}.\)
Câu 16 : Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(\int\limits_0^3 {x.f'\left( x \right).{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x = 8} \) và \(f\left( 3 \right) = \ln 3\). Tính \(I = \int\limits_0^3 {{e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .\)
A. \(I=1\)
B. \(I=11\)
C. \(I = 8 - \ln 3.\)
D. \(I = 8 + \ln 3.\)
Câu 17 : Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f'\left( x \right){{\cos }^2}x{\rm{d}}x} = 10\) và \(f\left( 0 \right) = 3.\) Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right)\sin 2x{\rm{d}}x} \) bằng
A. \(I = - 13.\)
B. \(I = - 7.\)
C. \(I = 7.\)
D. \(I = 13.\)
Câu 18 : Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_1^2 {f\left( {x - 1} \right){\rm{d}}x} = 3\) và \(f\left( 1 \right) = 4.\) Tích phân \(\int\limits_0^1 {{x^3}f'\left( {{x^2}} \right){\rm{d}}x} \) bằng
A. \(-1\)
B. \( - \frac{1}{2}.\)
C. \( \frac{1}{2}.\)
D. \(1\)
Câu 19 : Cho hàm số \(f(x)\) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right].\) Biết \(f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( x \right)f\left( {2 - x} \right) = {e^{2{x^2} - 4x}}\) với mọi \(x \in \left[ {0;2} \right].\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {\frac{{\left( {{x^3} - 3{x^2}} \right)f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} .\)
A. \(I = - \frac{{14}}{3}.\)
B. \(I = - \frac{{32}}{5}.\)
C. \(I = - \frac{{16}}{3}.\)
D. \(I = - \frac{{16}}{3}.\)
Câu 20 : Cho biểu thức \(S = \ln \left( {1 + \int\limits_{\frac{n}{{4 + {m^2}}}}^{\frac{\pi }{2}} {\left( {2 - \sin 2x} \right){e^{2\cot x}}{\rm{d}}x} } \right),\) với số thực \(m \ne 0.\) Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. \(S=5\)
B. \(S=9\)
C. \(S = 2cot\left( {\frac{\pi }{{4 + {m^2}}}} \right) + 2\ln \left( {\sin \frac{\pi }{{4 + {m^2}}}} \right).\)
D. \(S = 2\tan \left( {\frac{\pi }{{4 + {m^2}}}} \right) + 2\ln \left( {\frac{\pi }{{4 + {m^2}}}} \right).\)
Câu 21 : Biết \(\int\limits_1^2 {\ln \left( {9 - {x^2}} \right){\rm{d}}x} = a\ln 5 + b\ln 2 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.\)
A. \(P=13\)
B. \(P=18\)
C. \(P=26\)
D. \(P=34\)
Câu 22 : Biết \(\int\limits_0^1 {\frac{{\pi {x^3} + {2^x} + e{x^3}{2^x}}}{{\pi + e{{.2}^x}}}} {\rm{d}}x = \frac{1}{m} + \frac{1}{{e\ln n}}.\ln \left( {p + \frac{e}{{e + \pi }}} \right)\) với \(m,{\rm{ }}n,{\rm{ }}p\) là các số nguyên dương. Tính tổng \(P = m + n + p.\)
A. \(P=5\)
B. \(P=6\)
C. \(P=7\)
D. \(P=8\)
Câu 23 : Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{x^2} + \left( {2x + \cos x} \right)\cos x + 1 - \sin x}}{{x + \cos x}}{\rm{d}}x} = a{\pi ^2} + b - \ln \frac{c}{\pi }\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c\) là các số hữu tỉ. Tính \(P = a{c^3} + b.\)
A. \(P = \frac{5}{4}.\)
B. \(P = \frac{3}{2}.\)
C. \(P=2\)
D. \(P=3\)
Câu 24 : Biết \(\int\limits_{\ln \sqrt 3 }^{\ln \sqrt 8 } {\frac{1}{{\sqrt {{e^{2x}} + 1} - {e^x}}}{\rm{d}}x} = 1 + \frac{1}{2}\ln \frac{b}{a} + a\sqrt a - \sqrt b \) với \(a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = a + b.\)
A. \(P=-1\)
B. \(P=1\)
C. \(P=3\)
D. \(P=5\)
Câu 25 : Biết \(\int\limits_1^2 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\left( {x + 1} \right)\sqrt x + x\sqrt {x + 1} }} = \sqrt a } - \sqrt b - c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in {Z^ + }.\) Tính \(P = a + b + c\).
A. \(P=12\)
B. \(P=18\)
C. \(P=24\)
D. \(P=46\)
Câu 26 : Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\sin 4x}}{{\sqrt {{{\cos }^2}x + 1} + \sqrt {{{\sin }^2}x + 1} }}{\rm{d}}x} = \frac{{a\sqrt 2 + b\sqrt 6 + c}}{6}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = \left| a \right| + \left| b \right| + \left| c \right|.\)
A. \(P=10\)
B. \(P=12\)
C. \(P=14\)
D. \(P=36\)
Câu 27 : Biết \(\int\limits_1^4 {\sqrt {\frac{1}{{4x}} + \frac{{\sqrt x + {e^x}}}{{\sqrt x {e^{2x}}}}} {\rm{d}}x} = a + {e^b} - {e^c}\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = a + b + c.\)
A. \(P=-5\)
B. \(P=-4\)
C. \(P=-3\)
D. \(P=3\)
Câu 28 : Biết \(\int\limits_0^2 {\sqrt {\frac{{2 + \sqrt x }}{{2 - \sqrt x }}} {\rm{d}}x} = a\pi + b\sqrt 2 + c\) với \(a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c \in Z.\) Tính \(P = a + b + c.\)
A. \(P=-1\)
B. \(P=2\)
C. \(P=3\)
D. \(P=4\)
Câu 29 : Biết \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x} = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}\) với \(a,{\rm{ }}b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = b - a.\)
A. \(P=-8\)
B. \(P=-6\)
C. \(P=6\)
D. \(P=10\)
Câu 30 : Biết \(\int\limits_{ - \frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{6}} {\frac{{x\cos x}}{{\sqrt {1 + {x^2}} + x}}{\rm{d}}x} = a + \frac{{{\pi ^2}}}{b} + \frac{{\sqrt 3 \pi }}{c}\) với \(a, b, c\) là các số nguyên. Tính \(P = a - b + c.\)
A. \(P=-37\)
B. \(P=-35\)
C. \(P=35\)
D. \(P=41\)
Câu 31 :
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 & {\rm{khi}} & x \ge 0\\
{e^{2x}} & {\rm{khi}} & x \le 0
\end{array} \right..\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
A. \(I = \frac{{3{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}.\)
B. \(I = \frac{{7{e^2} + 1}}{{2{e^2}}}.\)
C. \(I = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}.\)
D. \(I = \frac{{11{e^2} - 11}}{{2{e^2}}}.\)
Câu 32 : Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\},\) thỏa \(f'\left( x \right) = \frac{2}{{2x - 1}},{\rm{ }}f\left( 0 \right) = 1\) và \(f\left( 1 \right) = 2.\) Giá trị của biểu thức \(f\left( { - 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng
A. \(\ln 15.\)
B. \(2+\ln 15.\)
C. \(3+\ln 15.\)
D. \(4+\ln 15.\)
Câu 33 : Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(R{\rm{\backslash }}\left\{ { - 2;1} \right\},\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x - 2}},f\left( { - 3} \right) - f\left( 3 \right) = 0\) và \(f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}.\) Giá trị biểu thức \(f\left( { - 4} \right) + f\left( { - 1} \right) - f\left( 4 \right)\) bằng
A. \(\frac{1}{3}\ln 20 + \frac{1}{3}.\)
B. \(\frac{1}{3}\ln 2 + \frac{1}{3}.\)
C. \(\ln 80 + 1.\)
D. \(\frac{1}{3}\ln \frac{8}{5} + 1.\)
Câu 34 : Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\left( {0; + \infty } \right){\rm{\backslash }}\left\{ e \right\},\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{x\left( {\ln x - 1} \right)}},\) \(f\left( {\frac{1}{{{e^2}}}} \right) = \ln 6\) và \(f\left( {{e^2}} \right) = 3.\) Giá trị biểu thức \(f\left( {\frac{1}{e}} \right) + f\left( {{e^3}} \right)\) bằng
A. \(3\left( {\ln 2 + 1} \right).\)
B. \(2\ln 2.\)
C. \(3\ln 2 + 1.\)
D. \(\ln 2 + 3.\)
Câu 35 : Cho \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(y = \frac{1}{{1 + \sin 2x}}\) với \(x \in R\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{4} + k\pi ,k \in Z} \right\}.\) Biết \(F\left( 0 \right) = 1,{\rm{ }}F\left( \pi \right) = 0\), tính giá trị biểu thức \(P = F\left( { - \frac{\pi }{{12}}} \right) - F\left( {\frac{{11\pi }}{{12}}} \right).\)
A. \(P=0\)
B. \(P = 2 - \sqrt 3 .\)
C. \(P=1\)
D. Không tồn tại \(P\)
Câu 36 : Cho hàm số \(f(x)\) là hàm số lẻ, liên tục trên \(\left[ { - \,4;\,4\,} \right].\) Biết rằng \(\int\limits_{ - \,2}^0 {f\left( { - \,x} \right)\,{\rm{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_1^2 {f\left( { - \,2x} \right)\,{\rm{d}}x} = 4.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_0^4 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} .\)
A. \(I=-10\)
B. \(I=-6\)
C. \(I=6\)
D. \(I=10\)
Câu 37 : Cho hàm số \(f(x)\) là hàm số chẵn, liên tục trên \(\left[ { - 1;6} \right].\) Biết rằng \(\int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 8\) và \(\int\limits_1^3 {f\left( { - 2x} \right){\rm{d}}x} = 3.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_{ - 1}^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
A. \(I=2\)
B. \(I=5\)
C. \(I=11\)
D. \(I=14\)
Câu 38 : Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right],\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)\) với mọi \(x \in \left[ {3;7} \right]\) và \(\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4.\) Tính tích phân \(I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
A. \(I=20\)
B. \(I=40\)
C. \(I=60\)
D. \(I=80\)
Câu 39 : Cho hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2018.\) Giá trị của tích phân \(I = \int\limits_{ - \pi }^\pi {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x} \) bằng
A. \(I=0\)
B. \(I = \frac{1}{{2018}}.\)
C. \(I=2018\)
D. \(I=4036\)
Câu 40 : Biết \(\int\limits_0^\pi {\frac{{x{{\sin }^{2018}}x}}{{{{\sin }^{2018}}x + {{\cos }^{2018}}x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{\pi ^a}}}{b}\) với \(a,b \in {Z^ + }.\) Tính \(P = 2a + b.\)
A. \(P=6\)
B. \(P=8\)
C. \(P=10\)
D. \(P=12\)
Lời giải có ở chi tiết câu hỏi nhé! (click chuột vào câu hỏi).
Copyright © 2021 HOCTAP247