Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4,{\rm{ }}\int\l

* Hướng dẫn giải

Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = 4.\)

Đặt \(t=tan x\) suy ra \({\rm{d}}t = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}{\rm{d}}x = \left( {{{\tan }^2}x + 1} \right){\rm{d}}x \to {\rm{d}}x = \frac{{{\rm{d}}t}}{{1 + {t^2}}}.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0 \to t = 0\\
x = \frac{\pi }{4} \to t = 1
\end{array} \right..\) Khi đó \(4 = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan x} \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( t \right)}}{{{t^2} + 1}}{\rm{d}}} t = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Từ đó suy ra \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = \int\limits_0^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x}  + \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}{\rm{d}}x}  = 4 + 2 = 6.\)