Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và thỏa \(f\left( x \right) + f\left( { - x} \right) = \sqrt {2 + 2\cos 2x} \) với mọ

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t =  - x \to {\rm{d}}x =  - {\rm{d}}t.\) Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - \frac{{3\pi }}{2} \to t = \frac{{3\pi }}{2}\\
x = \frac{{3\pi }}{2} \to t =  - \frac{{3\pi }}{2}
\end{array} \right..\)

Khi đó \(I =  - \int\limits_{\frac{{3\pi }}{2}}^{ - \frac{{3\pi }}{2}} {f\left( { - t} \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( { - t} \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {f\left( { - x} \right){\rm{d}}x} .\)

Suy ra \(2I = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left[ {f\left( t \right) + f\left( { - t} \right)} \right]{\rm{d}}t}  = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sqrt {2 + 2\cos 2t} {\rm{d}}t}  = \int\limits_{ - \frac{{3\pi }}{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {2\left| {\cos t} \right|{\rm{d}}t} \mathop  = \limits^{{\rm{CASIO}}} 12 \to I = 6.\)