Giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^4}x.{\cos ^6}x\) là

* Hướng dẫn giải

Chuyển hàm đã cho về biến là \({\cos ^2}x\).

\(f\left( x \right) = {\sin ^4}x.{\cos ^6}x = {\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right)^2}.{\left( {{{\cos }^2}.x} \right)^3}\) .

Đặt \({\cos ^2}x = t \in \left[ {0;1} \right] \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( t \right) = {\left( {1 - t} \right)^2}.{t^3}\). Suy ra \(g'\left( t \right) =  - {t^3}.2.\left( {1 - t} \right) + 3{t^2}{\left( {1 - t} \right)^2}\) .

Phương trình \(g'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow {t^2}\left( {1 - t} \right)\left[ { - 2t + 3\left( {1 - t} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow {t^2}\left( {1 - t} \right)\left( {3 - 5t} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 0 \in \left[ {0;1} \right]}\\
{t = 1 \in \left[ {0;1} \right]}\\
{t = \frac{3}{5} \in \left[ {0;1} \right]}
\end{array}} \right.\).

Tính giá trị \(g(t)\) tại \(t = 0;\,\,1;\,\,\frac{3}{5}\),  ta được GTLN của hàm số là \(\frac{{108}}{{3125}}\).