Cho các số thực a, b thỏa mãn \(a > 1,b > 1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{27}}{2}{\left( {2.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(P = \frac{{27}}{2}{\left( {2.{{\log }_{ab}}a + {{\log }_{ab}}b} \right)^2} + 4{\log _a}ab = \frac{{27}}{2}{\left( {\frac{2}{{{{\log }_a}ab}} + \frac{1}{{{{\log }_b}ab}}} \right)^2} + 4.{\log _a}b + 4\).

Đặt \(t = {\log _a}b\left( {t > 0} \right) \Leftrightarrow {\log _b}a = \frac{1}{t}\), khi đó

\(P = \frac{{27}}{2}.{\left( {\frac{2}{{t + 1}} + \frac{t}{{t + 1}}} \right)^2} + 4t + 4 = \frac{{27}}{2}.{\left( {\frac{{t + 2}}{{t + 1}}} \right)^2} + 4t + 4\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \frac{{27}}{2}.{\left( {\frac{{t + 2}}{{t + 1}}} \right)^2} + 4t\) với \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\), ta có

\(f'\left( t \right) = \frac{{\left( {t - 2} \right){{\left( {2t + 5} \right)}^2}}}{{{{\left( {t + 1} \right)}^3}}};f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 2\). Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy rằng \(f(t)\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(f\left( 2 \right) = 32 \Rightarrow {P_{\min }} = 36\).