Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\;\) có \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). \(ABCD\)là hình thang vuông tại A và B biết \(AB = 2a,\) \(AD = 3BC = 3a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC...

* Hướng dẫn giải

+) Kẻ \(CK \bot AD \Rightarrow CK = KD = 2a\)

Mà \(\Delta CKD\) vuông tại C nên \(CD = 2\sqrt 2 a.\)

Kẻ \(AH \bot CD\) mà \(SA \bot CD\left( {doSA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow SH \bot CD\)

Nên góc giữa \(\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)\) là \(\widehat {SHA} \Rightarrow \angle \widehat {SHA} = {\text{ }}60^\circ \) 

Mặt khác ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{S_{ABCD}} = {S_{ACD}} + {S_{ABC}}}\\{ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {BC + AD} \right)AB}}{2} = \dfrac{{AH.CD}}{2} + \dfrac{{AB.BC}}{2}}\\{ \Leftrightarrow \left( {a + 3a} \right).2a = AH.2\sqrt 2 a + 2a.a}\\{ \Leftrightarrow AH = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}a}\end{array}\)

+) \(\Delta SAH\) vuông tại A có \(\widehat {SHA} = 60^\circ  \Rightarrow SA = \tan 60^\circ .AH = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}a\) 

+) \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}a.\dfrac{{\left( {a + 3a} \right).2a}}{2} = 2\sqrt 6 {a^3}.\)

Chọn B.