Biết \(I = \int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = \frac{1}{a} - \frac{b}{{{{\left(

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\int\limits_1^e {\frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_1^e {\frac{{\ln x + 1}}{{\ln x + x + 1}}.\frac{{\ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x} .\)

Đặt \(t = \frac{{\ln x + 1}}{{\ln x + x + 1}} \to {\rm{d}}t = \left( {\frac{{\ln x + 1}}{{\ln x + x + 1}}} \right){\rm{'d}}x =  - \frac{{\ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^2}}}{\rm{d}}x.\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 \to t = \frac{1}{2}\\
x = e \to t = \frac{2}{{e + 2}}
\end{array} \right..\) Khi đó \(I =  - \int\limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{2}{{e + 2}}} {t{\rm{d}}t}  =  - \frac{1}{2}{t^2}\left| \begin{array}{l}
^{\frac{2}{{e + 2}}}\\
_{\frac{1}{2}}
\end{array} \right. = \frac{1}{8} - \frac{2}{{{{\left( {e + 2} \right)}^2}}}.\)