Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right],\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)\) với m

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \left( {3 + 7} \right) - x \to {\rm{d}}t =  - {\rm{d}}x.\) Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 7 \to t = 3\\
x = 3 \to t = 7
\end{array} \right..\)

Khi đó \(I =  - \int\limits_7^3 {\left( {10 - t} \right)f\left( {10 - t} \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_3^7 {\left( {10 - t} \right)f\left( {10 - t} \right){\rm{d}}t}  = \int\limits_3^7 {\left( {10 - x} \right)f\left( {10 - x} \right){\rm{d}}x} \)

\(\mathop  = \limits^{f\left( x \right) = f\left( {10 - x} \right)} \int\limits_3^7 {\left( {10 - x} \right)f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 10\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x}  = 10\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  - I.\)

Suy ra \(2I = 10\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 10.4 = 40 \to I = 20.\)