Cho hàm số \(y=f(x)\) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right],\) thỏa mãn \(\int\limits_0^\

* Hướng dẫn giải

Đặt \(x =  - t \to {\rm{d}}x =  - {\rm{d}}t.\) Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - \pi  \to t = \pi \\
x = \pi  \to t =  - \pi 
\end{array} \right..\)

Khi đó \(I =  - \int\limits_\pi ^{ - \pi } {\frac{{f\left( { - t} \right)}}{{{{2018}^{ - t}} + 1}}{\rm{d}}t}  = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{f\left( { - t} \right)}}{{{{2018}^{ - t}} + 1}}{\rm{d}}t}  = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{{{2018}^t}f\left( { - t} \right)}}{{1 + {{2018}^t}}}{\rm{d}}t}  = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{{{2018}^x}f\left( { - x} \right)}}{{1 + {{2018}^x}}}{\rm{d}}x} .\)

Vì \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn trên đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) nên \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right) \to I = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{{{2018}^x}f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x} .\)

Vậy \(2I = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x}  + \int\limits_{ - \pi }^\pi  {\frac{{{{2018}^x}f\left( x \right)}}{{{{2018}^x} + 1}}{\rm{d}}x}  = \int\limits_{ - \pi }^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2\int\limits_0^\pi  {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 2.2018 \to I = 2018.\)