Một khối lăng trụ tam giác đều có thể tích là \(V=16a^3\).

* Hướng dẫn giải

Gọi độ dài cạnh đáy của hình lăng trụ là \(x\left( {x > 0} \right)\); chiều cao là h.

Diện tích đáy của lăng trụ là \(2.\frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2}\); diện tích xung quanh của lăng trụ là 3xh.

Ta có: \(V = {S_d}.h \Leftrightarrow 16{a^3} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{4}.h \Rightarrow h = \frac{{64{a^3}}}{{{x^2}\sqrt 3 }}\)

Diện tích toàn phần của lăng trụ \(S = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2} + 3xh = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2} + 3x.\frac{{64{a^3}}}{{{x^2}\sqrt 3 }} = \frac{{{x^2}\sqrt 3 }}{2} + \frac{{64\sqrt 3 {a^3}}}{x}\)

\(S' = x\sqrt 3  - \frac{{64\sqrt 3 {a^3}}}{{{x^2}}};S' = 0 \Leftrightarrow {x^3} = 64{a^3} \Leftrightarrow x = 4a\)

Suy ra diện tích toàn phần nhỏ nhất khi \(x = 4a\) .