Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh \(a\), \(SA = SB = SC=a\). Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là

* Hướng dẫn giải

Kẻ \(SH \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) tại H => H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).Mà \(\Delta ABC\) cân tại B và \(AC \bot B{\rm{D}} \Rightarrow H \in B{\rm{D}}\).Gọi O là giao điểm AC và BD.

Ta có: \(\Delta SAC = \Delta BAC\,\,(c.c.c) \Rightarrow SO = OB = \frac{1}{2}B{\rm{D}} \Rightarrow \Delta SB{\rm{D}}\) vuông tại S.

\( \Rightarrow SH.B{\rm{D}} = SB.S{\rm{D}} \Rightarrow {\rm{V = }}\frac{1}{3}SH.{S_{ABC{\rm{D}}}} = \frac{1}{3}SH.\frac{1}{2}AC.B{\rm{D = }}\frac{1}{6}SB.S{\rm{D}}.AC = \frac{1}{6}a.AC.S{\rm{D}}\)

Lại có \(SD = \sqrt {B{D^2} - S{B^2}}  = \sqrt {B{D^2} - {a^2}} \).Mà \(AC = 2OA = 2\sqrt {A{B^2} - O{B^2}}  = 2\sqrt {{a^2} - \frac{{B{D^2}}}{4}}  = \sqrt {4{a^2} - B{D^2}} \)

\( \Rightarrow V = \frac{1}{6}a.\sqrt {4{a^2} - B{D^2}} .\sqrt {B{D^2} - {a^2}}  \le \frac{a}{6}.\frac{{\left( {4{a^2} - B{D^2}} \right) + \left( {B{D^2} - {a^2}} \right)}}{2} = \frac{{{a^3}}}{4}.\).