Cho hình lăng trụ ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và mặt phẳng (ABCD) bằ...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Khi đó ta có: \(A'H \bot \left( {ABCD} \right).\)

\( \Rightarrow H'C\) là hình chiếu của \(A'C\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {A'C,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {A'C,\,HC} \right) = \angle HCA' = {45^0}\)

Áp  dụng định lý Pitago cho \(\Delta HBC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(\begin{array}{l}HC = \sqrt {H{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\\ \Rightarrow A'H = HC.\tan {45^0} = HC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.\end{array}\)

Chọn  A.