Tìm điều kiện của tham số m để phương trình \(2{x^3} - 3{x^2} - 2m - 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

* Hướng dẫn giải

Để phương trình \(2{x^3} - 3{x^2} - 2m - 1 = 0\) có ba nghiệm phân biệt thì đồ thị hàm số \(y = 2{x^3} - 3{x^2} - 2m - 1\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành.

Ta có: \(f'\left( x \right) = 6{x^2} - 6x\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y =  - 2m - 1\).

Với \(x = 1 \Rightarrow y = {2.1^3} - {3.1^2} - 2m - 1 =  - 2m - 2\).

Để hai điểm cực trị nằm về hai phía trục hoành thì:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left( { - 2m - 1} \right)\left( { - 2m - 2} \right) < 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m + 2 < 0\\ \Leftrightarrow  - 1 < m <  - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Chọn A.