Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{2\cos x + 3}}{{2\cos x - m}}\) nghịch biến trên kh

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \cos x\), với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{3}} \right) \to t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\).

Hàm số trở thành \(y\left( t \right) = \frac{{2t + 3}}{{2t - m}} \to y'\left( t \right) = \frac{{ - 2m - 6}}{{{{\left( {2t - m} \right)}^2}}}\).

Ta có \(t' =  - \sin x < 0,{\rm{ }}\forall x \in \left( {0;\frac{\pi }{3}} \right)\), do đó \(t = \cos x\) nghịch biến trên \(\left( {0;\frac{\pi }{3}} \right).\)

Do đó YCBT \( \leftrightarrow y\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {\frac{1}{2};1} \right)\)\( \leftrightarrow y'\left( t \right) > 0,\,\,\forall t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 2m - 6 > 0\\
2t - m \ne 0
\end{array} \right.,\,\,\forall t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m <  - 3\\
m \ne 2t
\end{array} \right.,\,\,\forall t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m <  - 3\\
m \notin \left( {1;2} \right)
\end{array} \right. \Leftrightarrow m <  - 3.\) 

Nhận xét. Do \(t \in \left( {\frac{1}{2};1} \right) \to 2t \in \left( {1;2} \right)\). Và \(m \notin \left( {1;2} \right) \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m \le 1\\
m \ge 2
\end{array} \right.\) .