Cho \(p, q\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _9}p = {\log _{12}}q = {\log _{16}}\left( {p + q} \right)\).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = {\log _9}p = {\log _{12}}q = {\log _{16}}\left( {p + q} \right) \to \left\{ \begin{array}{l}
p = {9^t}\\
q = {12^t}\\
p + q = {16^t}
\end{array} \right.\)

\( \to {9^t} + {12^t} = p + q = {16^t}.\) (*) 

Chia hai vế của (*) cho 16, ta được \({\left( {\frac{9}{{16}}} \right)^t} + {\left( {\frac{{12}}{{16}}} \right)^t} = 1 \leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = 1\)

\( \leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} - 1 = 0 \leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\) (loại) hoặc \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}.\)

Giá trị cần tính \(A = \frac{p}{q} = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\) .