Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình \({2017^{{{\sin }^2}x}} - {2017^{{{\cos }^2}x}} = \cos 2x\) trên đoạn 

* Hướng dẫn giải

Phương trình \(\Leftrightarrow {2017^{{{\sin }^2}x}} - {2017^{{{\cos }^2}x}} = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\)

\( \Leftrightarrow {2017^{{{\sin }^2}x}} + {\sin ^2}x = {2017^{{{\cos }^2}x}} + {\cos ^2}x.\)                 (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2017^t} + t\) trên R ta có \(f'\left( t \right) = {2017^t}\ln 2017 + 1 > 0,\forall t \in R.\)

Suy ra hàm số \(f(x)\) đồng biến trên R

Nhận thấy (*) có dạng \(f\left( {{{\sin }^2}x} \right) = f\left( {{{\cos }^2}x} \right) \Leftrightarrow {\sin ^2}x = {\cos ^2}x\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}x - {\sin ^2}x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2},{\rm{ }}k \in Z.\)

Vì \(x \in \left[ {0;\pi } \right] \to x = \left\{ {\frac{\pi }{4};\frac{{3\pi }}{4}} \right\} \to T = \frac{\pi }{4} + \frac{{3\pi }}{4} = \pi \)