Tìm tập hợp các giá trị của tham số thực m để phương trình 6^x+(3-m).2^x-m=0  có nghiệm thuộc khoảng (0;1)?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({6^x} + \left( {3 - m} \right){2^x} - m = 0\) (1) \( \Leftrightarrow \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}} = m\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{6^x} + {{3.2}^x}}}{{{2^x} + 1}}\) xác định trên R, có \(f'\left( x \right) = \frac{{{{12}^x}.\ln 3 + {6^x}.\ln 6 + {{3.2}^x}.\ln 2}}{{{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}} > 0,\,\forall x \in R\) nên hàm số \(f(x)\) đồng biến trên R

Suy ra \(0 < x < 1 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) < f\left( x \right) < f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 < f\left( x \right) < 4\) vì \(f\left( 0 \right) = 2,\,f\left( 1 \right) = 4\)

Vậy phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng \((0;1)\) khi \(m \in \left( {2;4} \right)\).