Cho các số thực \(x, y\) thỏa mãn \(x + y = 2\left( {\sqrt {x - 3}  + \sqrt {y + 3} } \right)\).

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(x + y = 2(\sqrt {x - 3}  + \sqrt {y + 3} ) \Leftrightarrow {(x + y)^2} = 4(x + y) + 8\sqrt {x - 3} .\sqrt {y + 3}  \ge 4(x + y) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + y \ge 4\\
x + y \le 0
\end{array} \right.\)

Mặt khác \(x + y = 2(\sqrt {x - 3}  + \sqrt {y + 3} ) \le 2\sqrt {2(x + y)}  \Leftrightarrow x + y \le 8 \Rightarrow x + y \in \left[ {4;8} \right]\)

Xét biểu thức \(P = 4({x^2} + {y^2}) + 15xy = 4{(x + y)^2} + 7xy \ge 16(x + y) + 7xy = 7x(y + 3) + 16y - 5x\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}
y + 3 \ge 0\\
y \ge 4 - x
\end{array} \right. \Rightarrow P \ge 16(4 - x) - 5x = 64 - 21x\), kết hợp với \(x + y \ge 4 \Rightarrow x \in \left[ {3;7} \right] \Rightarrow 64 - 21x \ge  - 83\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P là \(-83\).