Cho hàm số \[y = {x^4} - 2m{x^2} + 2m + {m^4}\).

* Hướng dẫn giải

\(y' = 4{{\rm{x}}^3} - 4m{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = m
\end{array} \right.\) 

Để hàm số có 3 cực trị thì \(m>0\), khi đó ba điểm cực trị là:

\(A\left( {0;2m + {m^4}} \right);B\left( {\sqrt m ,{m^4} - {m^2} + 2m} \right);C\left( { - \sqrt m ,{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\). Gọi I là trung điểm của BC \( \Rightarrow I\left( {0;{m^4} - {m^2} + 2m} \right)\).Ta có \(AI = \sqrt {{m^4}}  = {m^2}\) và \(BC = \sqrt {4m}  = 2\sqrt m \).

Theo đề \({S_{ABC}} = 4 \Rightarrow \frac{{BCAI}}{2} = 4 \Rightarrow {m^2}\sqrt m  = 4 \Leftrightarrow m = \sqrt[5]{{16}}\).