Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có cạnh đáy bằng \(a,\) góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng \(60^\circ .\) Tính theo \(a\) thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC.\)

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(D\) là trung điểm cạnh \(BC\)

Suy ra \(SH \bot \left( {ABC} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\AD \bot BC\\SD \bot BC\end{array} \right.\)

Suy ra góc giữa mặt bên \(\left( {SBC} \right)\) và đáy là \(\widehat {SDA} = {60^0}\)

Ta có \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow DH = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Xét tam giác \(SHD\) vuông tại \(H\) có \(SH = HD.\tan \widehat {SDH} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\tan {60^0} = \dfrac{a}{2}\)

Thể tích khối chóp là \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Chọn D