Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\) thỏa mãn \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = 4\). Mệnh đề nào dưới đây đúng

* Hướng dẫn giải

Hàm số \(y = \dfrac{{x + m}}{{x - 2}}\) xác định và liên tục trên \(\left[ {3;5} \right]\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2 - m}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

+ Xét \( - 2 - m > 0 \Leftrightarrow m <  - 2\,\,\left( * \right)\).

Khi đó hàm số đồng biến trện \(\left[ {3;5} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 3 \right) = 3 + m\). Do đó \(3 + m = 4 \Leftrightarrow m = 1\)( không thỏa \(\left( * \right)\)).

+ Xét \( - 2 - m < 0 \Leftrightarrow m >  - 2\,\,\,\left( {**} \right)\).

Khi đó hàm số nghịch biến trện \(\left[ {3;5} \right]\).

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {3;5} \right]} y = y\left( 5 \right) = \dfrac{{5 + m}}{3}\). Do đó \(\dfrac{{5 + m}}{3} = 4 \Leftrightarrow m = 7\)( thỏa \(\left( {**} \right)\)).

Vậy \(m = 7 > 5\).

Chọn A.