Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}}\) cắt đường thẳng \(y = 2x + m\) (\(m\) là tham số) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\), giá trị nhỏ nhất của \(AB\) bằng

* Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường là: \(\dfrac{{3x - 1}}{{x - 2}} = 2x + m\).

\( \Leftrightarrow 3x - 1 = \left( {2x + m} \right)\left( {x - 2} \right)\) (vì \(x = 2\) không thỏa phương trình).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m - 7} \right)x + 1 - 2m = 0\)

Ta có: \(\Delta  = {m^2} + 2m + 41 > 0,\forall m \in \mathbb{R}\)

Hai đường luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\).

Gọi \(A\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),B\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right).\) Khi đó: \({x_1} + {x_2} = \dfrac{{7 - m}}{2},{x_1}{x_2} = \dfrac{{1 - 2m}}{2}\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \)\( = \sqrt 5 \sqrt {{{\left( {\dfrac{{7 - m}}{2}} \right)}^2} - 4\left( {\dfrac{{1 - 2m}}{2}} \right)} \) \( = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{m^2} + 2m + 41} \) \( = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {{{\left( {m + 1} \right)}^2} + 40} \)

\( \Rightarrow AB \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\sqrt {40}  = 5\sqrt 2 \).

Đẳng thức xảy ra khi \(m =  - 1\)

Chọn D.