Tìm giá trị \(m\) để hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} + m + 1\) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 4 là

* Hướng dẫn giải

TXĐ :  \(D = \mathbb{R}\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}f\left( x \right) =  - {x^3} + 3{x^2} + m + 1\\ \Rightarrow f'\left( x \right) =  - 3{x^2} + 6x =  - 3\left( {{x^2} - 2x} \right) =  - 3x\left( {x - 2} \right)\\f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\end{array}\)

BBT của hàm số đã cho trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) như sau :

Từ BBT ta thấy  \(\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 2;1} \right]} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) = m + 1\) 

Mà giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \(\left[ { - 2;1} \right]\) bằng 4 nên \(m + 1 = 4 \Leftrightarrow m = 3\)

Chọn D