Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,\) \(AD = 2a,\) \(AA' = 3a\). Thể tích khối nón có đỉnh trùng với tâm của hình chữ nhật \(ABCD\), đường tròn đáy ngoại tiếp hình...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\), \(O'\) là giao điểm của \(A'C'\) và \(B'D'\).

Khối nón đã cho có đỉnh là \(O\), đường tròn đáy là đường tròn tâm \(O'\) ngoại tiếp hình chữ nhật \(A'B'C'D'\).

Do đó khối nón trên có chiều cao là \(h = OO' = AA' = 3a\) và bán kính đường tròn đáy là

\(r = O'A' = \dfrac{1}{2}A'C' = \dfrac{1}{2}\sqrt {A'B{'^2} + B'C{'^2}} \)  \( = \dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a\)

Vậy thể tích của khối nón đã cho là  \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h = \dfrac{1}{3}.\pi .{\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{2}a} \right)^2}.3a = \dfrac{{5\pi {a^3}}}{4}\)

Chọn B