Cho phương trình \({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) = 1\).

* Hướng dẫn giải

\({\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) = 1\)  (1)

TXĐ: \(D = \left( {\,0\,; + \infty } \right)\).

Ta có \({\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) = {\log _{{5^2}}}\left( {{{5.5}^x} - 5} \right) = \frac{1}{2}\left( {{{\log }_5}\left( {{5^x} - 1} \right) + 1} \right)\).

Đặt \(t = {\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right)\) \(\left( {t > 0} \right)\).

Phương trình (1) trở thành \(t.\frac{1}{2}\left( {t + 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\).