Cho \(n\) là số nguyên dương và \(a > 0,a \ne 1\).

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({\log _a}2019 + {\log _{\sqrt a }}2019 + {\log _{\sqrt[3]{a}}}2019 + ... + {\log _{\sqrt[n]{a}}}2019 = 2033136.{\log _a}2019\)

\(\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow {\log _a}2019 + 2.{\log _a}2019 + 3.{\log _a}2019 + ... + n.{\log _a}2019 = 2033136.{\log _a}2019\\
 \Leftrightarrow \left( {1 + 2 + 3 + ... + n} \right).{\log _a}2019 = 2033136.{\log _a}2019\\
 \Leftrightarrow \left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} - 2033136} \right).{\log _a}2019 = 0\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\\
 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 2033136 \Leftrightarrow {n^2} + n - 4066272 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 2016\\
n =  - 2017
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do \(n\) là số nguyên dương nên \(n=2016\)