Phương trình \({\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x}  + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3}\) có bao

* Hướng dẫn giải

Điều kiện: \( - 4 < x < 4\) và \(x \ne  - 1\).

Ta có: \({\log _4}{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {4 - x}  + {\log _8}{\left( {4 + x} \right)^3} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4\left| {x + 1} \right|} \right) = {\log _2}\left[ {\left( {4 - x} \right)\left( {4 + x} \right)} \right]\)

\( \Leftrightarrow 4\left| {x + 1} \right| = 16 - {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
4\left( {x + 1} \right) = 16 - {x^2}\\
4\left( {x + 1} \right) = {x^2} - 16
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} + 4x - 12 = 0\\
{x^2} - 4x - 20 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x =  - 6\,\\
x = 2 + 2\sqrt 6 \\
x = 2 - 2\sqrt 6 
\end{array} \right.\)

Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm \(x=2\) và \(x = 2 - 2\sqrt 6 \).