Gọi \(x, y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \({\log _9}x = {\log _6}y = {\log _4}\left( {x + y} \right)\) và \(\

* Hướng dẫn giải

Đặt \({\log _9}x = t\)

Theo đề ra có \(\left\{ \begin{array}{l}
{\log _9}x = {\log _6}y = t\\
{\log _9}x = {\log _4}\left( {x + y} \right) = t
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = {9^t} & (1)\\
y = {6^t} & (2)\\
x + y = {4^t} & (3)\\
\frac{x}{y} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} & (4)
\end{array} \right.\)

Từ (1), (2), và (3) ta có

\({9^t} + {6^t} = {4^t} \Leftrightarrow {\left( {{3^t}} \right)^2} + {\left( {3.2} \right)^t} - {4^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2t}} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} & (TM)\\
{\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} & (L)
\end{array} \right.\)

Thế vào (4) ta được \(\frac{x}{y} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^t} = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2} = \frac{{ - a + \sqrt b }}{2} \Rightarrow a = 1;b = 5\)

Thử lại ta thấy \(a=1, b=5\) thỏa mãn dữ kiện bài toán. Suy ra \(a+b=6\)