Cho biết mô đun của số phức z thỏa mãn \(z + \left( {2 + i} \right)\overline z = 3 + 5i\) là:

* Hướng dẫn giải

Đặt z = a + bi      \(a,b \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}z + \left( {2 + i} \right)\overline z  = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left( {a + bi} \right) + \left( {2 + i} \right)\left( {a - bi} \right) = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + ai - bi = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow 3a + b + \left( {a - b} \right)i = 3 + 5i\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3a + b = 3\\a - b = 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b =  - 3\end{array} \right.\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow z = 2 - 3i\\ \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}}  = \sqrt {13} \end{array}\)