Cho số phức z thỏa mãn \(|z + 3| + |z - 3| = 10\). Giá trị nhỏ nhất của \(|z|\) là:

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z = a + bi;\,\,\,\,a,b \in \mathbb{Z}\)

\(\begin{array}{l}\left| {z + 3} \right| + \left| {z--3} \right| = 10\\ \Leftrightarrow |a + bi + 3| + |a + bi - 3| = 10\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  = 10\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

\(10 = \sqrt {{{(a + 3)}^2} + {b^2}}  + \sqrt {{{(a - 3)}^2} + {b^2}}  \)\(\,\le \sqrt {2{\rm{[}}{{(a + 3)}^2} + {b^2} + {{(a - 3)}^2} + {b^2}{\rm{]}}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {2\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 18} \right)}  \ge 10\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 9 \ge 25\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 16\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  \ge 4\\ \Leftrightarrow |z| \ge 4\\ \Leftrightarrow |z{|_{\min }} = 4\end{array}\)