Gọi S là tập tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị của hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y' = {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0 \Rightarrow \Delta ' = {m^2} - {m^2} + 1 = 1 > 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = m + 1 \Rightarrow {y_1} = y\left( {m + 1} \right)\\
{x_2} = m - 1 \Rightarrow {y_2} = y\left( {m - 1} \right)
\end{array} \right.\) 

Ta ép cho trung điểm I của cạnh AB thuộc \(d:y = 5x - 9\), với \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\), \(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\).

Tính được \(\left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = \frac{1}{3}{\left( {m + 1} \right)^3} - m{\left( {m + 1} \right)^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {m + 1} \right)\\
{y_2} = \frac{1}{3}{\left( {m - 1} \right)^3} - m{\left( {m - 1} \right)^2} + \left( {{m^2} - 1} \right)\left( {m - 1} \right)
\end{array} \right.\) 

\( \Rightarrow {y_1} + {y_2} = \frac{2}{3}{m^3} + \frac{1}{3}.6m - m\left( {2{m^2} + 2} \right) + 2m\left( {{m^2} - 1} \right) = \frac{2}{3}{m^3} - 2m\) 

\( \Rightarrow I\left( {m;\frac{1}{3}{m^3} - m} \right) \Rightarrow \frac{1}{3}{m^3} - m = 5m - 9 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 3\\
m = \frac{{ - 3 \pm 3\sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \) tổng bằng 0.