Cho hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và có đạo hàm cấp hai trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(2{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} - f\left( x \right)f''\lef...

* Hướng dẫn giải

Giả sử \(f\left( x \right) = {e^{a{x^2} + bx + c}}\)

Ta có

 \(\begin{array}{l} = {\left( {{e^{a{x^2} + bx + c}}} \right)^2}\left[ {2 - 2a} \right] = 0\\ \Rightarrow a = 1\end{array}\)

Do đó hàm số có dạng \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} + bx + c}}\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = {e^c} = 1 \Rightarrow c = 0\\f\left( 2 \right) = {e^{4 + 2b + c}} = {e^6} \Rightarrow b = 1\end{array} \right.\)

Nên \(f\left( x \right) = {e^{{x^2} + x}}\)

Khi đó \[I = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right)f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {2x + 1} \right){e^{{x^2} + x}}dx}  = 1 - {e^2}\]

Chọn B.