Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6{\rm{x}}} \right) + 15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2{\rm{x}}} \right) = 16\) trên đoạn \(\left[ { - 2019;2019}...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6x} \right) + 15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) = 16\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6x} \right) \le 1\\15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) \le 15\end{array} \right. \Rightarrow \sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6x} \right) + 15\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) \le 16\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \left( {\frac{{5\pi }}{4} - 6x} \right) = 1\\\sin \left( {\frac{\pi }{4} + 2x} \right) = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{5\pi }}{4} - 6x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\\frac{\pi }{4} + 2x = \frac{\pi }{2} + k'2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} - \frac{{k\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{8} + k'\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k =  - 3k'\\x = \frac{\pi }{8} + k'\pi \end{array} \right.;x \in \left[ { - 2019;2019} \right]\)

\( \Rightarrow k' \in \left[ { - 642;642} \right] \Rightarrow \) có 1285 nghiệm

Khi đó tổng các nghiệm của phương trình là \(\frac{{1285\pi }}{8}\)

Chọn B.