Tìm \(m\) để hàm số sau \(y = \frac{{m{x^2} + 6x - 2}}{{x + 2}}\) nghịch biến trên \(\left[ {1; + \infty } \right).\)

* Hướng dẫn giải

+ TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).

+ Ta có: \(y' = \frac{{m{x^2} + 4mx + 14}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Hàm số nghịch biến trên \([1; + \infty )\)\( \Leftrightarrow y' \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\), đẳng thức chỉ xảy ra tại một số điểm hữu hạn.

\( \Leftrightarrow m{x^2} + 4mx + 14 \le 0{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\)\( \Leftrightarrow m\left( {{x^2} + 4x} \right) \le  - 14{\rm{ }}\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow g\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}} \ge m,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow \mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)}  \ge m\).

Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{ - 14}}{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}}\) trên \([1; + \infty )\) có : \(g'\left( x \right) = \frac{{14\left( {2x + 4} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + 4x} \right)}^2}}} > 0,\forall x \in \left[ {1; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \) hàm số luôn đồng biến \( \Rightarrow \)\(\mathop {\min g\left( x \right)}\limits_{\left[ {1; + \infty } \right)}  = g\left( 1 \right) =  - \frac{{14}}{5} \ge m \Leftrightarrow m \le  - \frac{{14}}{5}\).