Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A. Cạnh AC = a, \(BC = a\sqrt 5 \). Mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng đáy và tam giác SAB đều. Gọi K điểm thuộc cạnh SC sao c...

* Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB \( \Rightarrow SH \bot AB\) (do tam giác SAB đều)

Do \((SAB) \bot (ABC) \Rightarrow SH \bot (ABC)\)

Do tam giác ABC vuông tại A nên AB=2a\( \Rightarrow SH = a\sqrt 3 .\)

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}.2a.a = {a^2}\)

Kẻ KM song song với AC cắt SA tại M. Khi đó AC//KM suy ra AC//(BKM)

Do đó d(AC,BK)=d(AC,(BKM))

Ta có \(AC \bot AB;AC \bot SH\) nên \(AC \bot (SAB)\)

Kẻ \(AI \bot BM,\) do KM//AC nên \(AI \bot KM\) suy ra \(AI \bot \left( {BKM} \right)\)

Suy ra d(AC,BK)=d(AC,(BKM))=d(A,(BKM))=AI

Ta có: \(\frac{{MA}}{{SA}} = \frac{{KC}}{{SC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow {S_{AMB}} = \frac{2}{3}{S_{SAB}} = \frac{2}{3}{(2a)^2}\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \frac{2}{3}{a^2}\sqrt 3 .\)

Ta lại có \(BM = \sqrt {A{B^2} + A{M^2} - AB.AM.\cos {{60}^0}}  = \frac{{2a\sqrt 7 }}{3}\)

Do đó \(AI = \frac{{2{S_{ABM}}}}{{BM}} = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}.\) Vậy \(d(AC,BK) = \frac{{2\sqrt {21} a}}{7}.\)