Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz,\) cho hình hộp \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có \(A\left( 1;0;1 \right),\,\,B\left( 2;1;2 \right)\)\(D\left( 1;-\,1;1 \right)\) và \({C}'\left( 4...

* Hướng dẫn giải

Ta có : \(\overrightarrow{AB}=\left( 1;\ 1;\ 1 \right).\)  Gọi \(C\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}};{{z}_{0}} \right)\Rightarrow \overrightarrow{DC}=\left( {{x}_{0}}-1;{{y}_{0}}+1;{{z}_{0}}-1 \right).\)

Vì \(ABCD\) là hình bình hành 

\( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} - 1 = 1\\
{y_0} + 1 = 1\\
{z_0} - 1 = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 2\\
{y_0} = 0\\
{z_0} = 2
\end{array} \right. \Rightarrow \,\,C\left( {2;0;2} \right).\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AC}=\left( 1;\ 0;\ 1 \right).\) Gọi \(A'\left( a;b;c \right)\Rightarrow \overrightarrow{A'C'}=\left( 4-a;5-b;-5-c \right).\)

Và \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) là hình hộp 

\( \Rightarrow \,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 - a = 1\\
5 - b = 0\\
- 5 - c = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 3\\
b = 5\\
c = - 6
\end{array} \right. \Rightarrow \,\,A'\left( {3;5; - \,6} \right).\)

Chọn C