Cho hàm số \(y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2x+5\) với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left(...

* Hướng dẫn giải

TH1. Với \(m=1,\) khi đó \(y=-\,2x+5\) là hàm số nghịch biến trên R.

TH2. Với \(m\ne 1,\) ta có \({y}'=3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x-2;\,\,\forall x\in R\)

Hàm số nghịch biến trên

\(R \Leftrightarrow y' \le 0;\,\,\forall x \in R \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}
a = 3\left( {m - 1} \right) < 0\\
\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + 6\left( {m - 1} \right) \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < 1\\
{m^2} + 4m - 5 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow - \,5 \le m < 1.\)

Kết hợp hai trường hợp ta có với $m\in \left( -5;1 \right)$ thì hàm số nghịch biến trên R. Mà \(m\in Z\Rightarrow\) Có tất cả 7 giá trị nguyên \(m\) cần tìm.

Chọn C.