Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)x-{{m}^{3}}\) với \(m\) là tham số; gọi \(\left( C \right)\) là đồ thị của hàm số đã cho. Biết rằng, khi \(m\) thay...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({y}'=3{{x}^{2}}-6mx+3\left( {{m}^{2}}-1 \right);\,\,\,{y}'=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & x=m+1 \\& x=m-1 \\\end{align} \right..\)

Dễ thấy \(m+1>m-1\) và \(a=1>0\Rightarrow x=m-1\) là điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right).\)

Khi đó \(\begin{align}  & y\left( m-1 \right)={{\left( m-1 \right)}^{3}}-3m{{\left( m-1 \right)}^{2}}+3\left( {{m}^{2}}-1 \right)\left( m-1 \right)-{{m}^{3}} \\ & y\left( m-1 \right)={{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+3m-1-3{{m}^{3}}+6{{m}^{2}}-3m+3{{m}^{3}}-3{{m}^{2}}-3m+3-{{m}^{3}} \\& y\left( m-1 \right)=-3m+2 \\\end{align}\)

Suy ra 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = m - 1\\
y = 2 - 3m
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x = 3m - 3\\
y = 2 - 3m
\end{array} \right. \Leftrightarrow 3x + y + 1 = 0.\)

Vậy điểm cực đại của đồ thị \(\left( C \right)\) thuộc đường thẳng cố định \(d:3x+y+1=0\Rightarrow k=-3.\)

Chọn A.