Tính giá trị của biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1,\) biết \({{4}^{{{x}^{2}}\,+\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\,-\,1}}={{\log }_{2}}\left( 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right),\) với...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-1\ge 2\sqrt{{{x}^{2}}.\frac{1}{{{x}^{2}}}}-1=1\Rightarrow {{4}^{{{x}^{2}}\,+\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\,-\,1}}\ge 4\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( y \right)=14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1}\) trên \(\left( -1;\frac{13}{2} \right)\), sử dụng MTCT ta tìm được \(\underset{\left( -1;\frac{13}{2} \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( y \right)=16\Leftrightarrow f\left( y \right)=14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1}\le 16\Rightarrow {{\log }_{2}}\left( 14-\left( y-2 \right)\sqrt{y+1} \right)\le 4\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) 

\(\Rightarrow {4^{{x^2}\, + \,\frac{1}{{{x^2}}}\, - \,1}} = {\log _2}\left[ {14 - \left( {y - 2} \right)\sqrt {y + 1} } \right] \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = \frac{1}{{{x^2}}}\\
y = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} = 1\\
y = 0
\end{array} \right..\)

Vậy giá trị biểu thức \(P={{x}^{2}}+{{y}^{2}}-xy+1=2.\)

Chọn B.