Giả sử \(a,b\) là các số thực sao cho \({x^3} + {y^3} = a{.10^{3z}} + b{.10^{2z}}\) đúng với mọi các số thực dương \(x,y,z\) thoả mãn \(\log \left( {x + y} \right) = z\) và \(\log...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(\log \left( {x + y} \right) = z \Leftrightarrow x + y = {10^z}\) ;

\(\log \left( {{x^2} + {y^2}} \right) = z + 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = {10^{z + 1}} = {10^z}.10 = 10\left( {x + y} \right)\)

\( \Rightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 2xy = 10\left( {x + y} \right) \Rightarrow xy = \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 10\left( {x + y} \right)}}{2}\)

Do đó \({x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} - 3xy\left( {x + y} \right)\) \( = {\left( {x + y} \right)^3} - 3.\dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2} - 10\left( {x + y} \right)}}{2}.\left( {x + y} \right)\)                      

\( =  - \dfrac{1}{2}{\left( {x + y} \right)^3} + 15{\left( {x + y} \right)^2} =  - \dfrac{1}{2}{.10^{3z}} + {15.10^{2z}}\).

Suy ra \(a =  - \dfrac{1}{2},b = 15 \Rightarrow a + b = \dfrac{{29}}{2}\).

Chọn D.