Tích các nghiệm thực của phương trình \(\log _2^2x + \sqrt {3 - {{\log }_2}x} = 3\) bằng

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\3 - {\log _2}x \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 0 < x \le 8\)

Đặt \(\sqrt {3 - {{\log }_2}x}  = t\left( {t \ge 0} \right)\) \( \Rightarrow {t^2} = 3 - {\log _2}x \Leftrightarrow {t^2} + {\log _2}x = 3\,\,\left( 1 \right)\)

Thay \(\sqrt {3 - {{\log }_2}x}  = t\) vào phương trình đã cho ta được \(\log _2^2x + t = 3\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({t^2} + {\log _2}x - \log _2^2x - t = 0 \Leftrightarrow \left( {t - {{\log }_2}x} \right)\left( {t + {{\log }_2}x} \right) - \left( {t - {{\log }_2}x} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {t - {{\log }_2}x} \right)\left( {t + {{\log }_2}x - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = {\log _2}x\\t = 1 - {\log _2}x\end{array} \right.\)

+ Với \(t = {\log _2}x \Leftrightarrow \sqrt {3 - {{\log }_2}x}  = {\log _2}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x \ge 0\\\log _2^2x + {\log _2}x - 3 = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {\log _2}x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{2}\) \( \Rightarrow x = {2^{\dfrac{{\sqrt {13}  - 1}}{2}}}\left( {TM} \right)\)

+ Với \(t = 1 - {\log _2}x \Leftrightarrow \sqrt {3 - {{\log }_2}x}  = 1 - {\log _2}x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x \le 1\\\log _2^2x - {\log _2}x - 2 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x \ge  - 1\\\left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 2\,\,\left( {ktm} \right)\\{\log _2}x =  - 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = {2^{ - 1}}\,\,\left( {tm} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = {2^{\dfrac{{\sqrt {13}  - 1}}{2}}};\,\,x = {2^{ - 1}}\)  nên tích các nghiệm là \({2^{\dfrac{{\sqrt {13}  - 1}}{2}}}{.2^{ - 1}} = {2^{\dfrac{{\sqrt {13}  - 1}}{2} - 1}} = {2^{\dfrac{{\sqrt {13}  - 3}}{2}}}\)

Chọn A.