Cho \(\int\limits_{ - 1}^4 {x\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} = a\ln 6 + \dfrac{5}{b}\) với \(a,b\) là các số nguyên dương. Giá trị \(2a + 3b\) bằng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}\ln \left( {x + 2} \right) = u\\xdx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x + 2}}dx = du\\\dfrac{{{x^2}}}{2} = v\end{array} \right.\)

Suy ra \(\int\limits_{ - 1}^4 {x\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x}  = \left. {\ln \left( {x + 2} \right).\dfrac{{{x^2}}}{2}} \right|_{ - 1}^4 - \int\limits_{ - 1}^4 {\dfrac{{{x^2}}}{2}.\dfrac{1}{{x + 2}}dx} \)

\(\begin{array}{l} = 8\ln 6 - \dfrac{1}{2}\int\limits_{ - 1}^4 {\left( {x - 2 + \dfrac{4}{{x + 2}}} \right)dx} \\ = 8\ln 6 - \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + 4\ln \left| {x + 2} \right|} \right)} \right|_{ - 1}^4\\ = 8\ln 6 - \dfrac{1}{2}\left( {4\ln 6 - \dfrac{5}{2}} \right) = 6\ln 6 + \dfrac{5}{4}\end{array}\) 

Theo giả thiết \(\int\limits_{ - 1}^4 {x\ln \left( {x + 2} \right){\rm{d}}x}  = a\ln 6 + \dfrac{5}{b}\)  nên duy ra \(a = 6;b = 4 \Rightarrow 2a + 3b = 2.6 + 3.4 = 24\)

Chọn A.