Cho đường thẳng \(d:\dfrac{x}{6} = \dfrac{{y - 1}}{3} = \dfrac{z}{2}\) và ba điểm \(A(2;0;0),\;B(0;4;0),\;C(0;0;6).\) Điểm \(M(a;b;c) \in d\) thỏa mãn \(MA + 2MB + 3MC\) đạt giá tr...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 6t\\y = 1 + 3t\\z = 2t\end{array} \right.\) nên \(M \in d \Rightarrow M\left( {6t;3t + 1;2t} \right)\).

Khi đó \(MA = \sqrt {{{\left( {2 - 6t} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}}  = \sqrt {49{t^2} - 18t + 5}  = \sqrt {{{\left( {7t - \dfrac{9}{7}} \right)}^2} + \dfrac{{164}}{{49}}}  \ge \dfrac{{2\sqrt {41} }}{7}\)

\(\begin{array}{l}MB = \sqrt {{{\left( {6t} \right)}^2} + {{\left( {3 - 3t} \right)}^2} + {{\left( {2t} \right)}^2}}  = \sqrt {49{t^2} - 18t + 9}  = \sqrt {{{\left( {7t - \dfrac{9}{7}} \right)}^2} + \dfrac{{360}}{{49}}}  \ge \dfrac{{6\sqrt {10} }}{7}\\MC = \sqrt {{{\left( {6t} \right)}^2} + {{\left( {1 + 3t} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2t} \right)}^2}}  = \sqrt {49{t^2} - 18t + 37}  = \sqrt {{{\left( {7t - \dfrac{9}{7}} \right)}^2} + \dfrac{{1732}}{{49}}}  \ge \dfrac{{2\sqrt {433} }}{7}\\ \Rightarrow MA + 2MB + 3MC \ge \dfrac{{2\sqrt {41}  + 12\sqrt {10}  + \sqrt {433} }}{7}\end{array}\)

Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow 7t - \dfrac{9}{7} = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{9}{{49}} \Rightarrow M\left( {\dfrac{{54}}{{49}};\dfrac{{76}}{{49}};\dfrac{{18}}{{49}}} \right) \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{148}}{{149}}\).

Chọn A.