Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + \sqrt {15} } \right| + \left| {z - \sqrt {15} } \right| = 8\) và \(\left| {z + \sqrt {15} i} \right| + \left| {z - \sqrt {15} i} \right| =...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) biểu diễn số phức \(z\).

Gọi điểm \(A\left( { - \sqrt {15} ;0} \right),B\left( {\sqrt {15} ;0} \right)\) thì từ \(\left| {z + \sqrt {15} } \right| + \left| {z - \sqrt {15} } \right| = 8 \Rightarrow MA + MB = 8\) hay tập hợp điểm \(M\) là elip có \(c = \sqrt {15} ,2a = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow b = \sqrt {{a^2} - {c^2}}  = 1\) \( \Rightarrow \) phương trình \(\left( {{E_1}} \right):\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + {y^2} = 1\).

Gọi điểm \(C\left( {0; - \sqrt {15} } \right),D\left( {0;\sqrt {15} } \right)\) thì từ \(\left| {z + \sqrt {15} i} \right| + \left| {z - \sqrt {15} i} \right| = 8 \Rightarrow MC + MD = 8\) hay tập hợp điểm \(M\) là elip có \(c' = \sqrt {15} ,2b' = 8 \Rightarrow b' = 4 \Rightarrow a' = \sqrt {b{'^2} - c{'^2}}  = 1\)\( \Rightarrow \) phương trình \(\left( {{E_2}} \right):{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\).

Do \(M \in \left( {{E_1}} \right),M \in \left( {{E_2}} \right)\) nên tọa độ \(M\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2}}}{{16}} + {y^2} = 1\\{x^2} + \dfrac{{{y^2}}}{{16}} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = \dfrac{{16}}{{17}}\\{y^2} = \dfrac{{16}}{{17}}\end{array} \right. \Rightarrow \left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}  = \dfrac{{4\sqrt {34} }}{{17}}\).

Chọn A.