Cho các số thực \(a,\,b,\,c,\,d\) thay đổi, luôn thỏa mãn \({\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 1\) và \(4c - 3d - 23 = 0.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(M\left( {a;b} \right),\,\,N\left( {c;d} \right)\)

Khi đó ta có \(M\) thuộc đường tròn \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 1\,\,\left( C \right)\) và \(N\) thuộc đường thẳng \(4x - 3y - 23 = 0\,\,\left( d \right)\)

Ta có: \(P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2} = M{N^2}\)

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {1;2} \right),\) bán kính \(R = 1\).

Ta có \(d\left( {I;d} \right) = \dfrac{{\left| {4.1 - 3.2 - 23} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \dfrac{{25}}{5} = 5 > R \Rightarrow d\) không cắt \(\left( C \right)\).

Khi đó \(M{N_{\min }} = d\left( {I;d} \right) - R = 5 - 1 = 4 \Rightarrow {P_{\min }} = {4^2} = 16\).

Chọn D.